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微分積分学において置換積分(ちかんせきぶん, 英語: Integration by substitution)は、変数変換を用いて積分を計算する積分法である。
一変数の置換[編集]
不定積分の置換積分[編集]
連続関数 f(x) と微分可能関数 x = g(t) について次の等式が成り立つ[注 1]。
![{\displaystyle \int f(x)\,dx=\int f(g(t))g'(t)\,dt.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bfd2a3870cca7ca18cb00db0ee6604d3100e7b5b)
導出には以下のように連鎖律と微分積分学の基本定理を用いる。
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d}{dt}}\int f(x)\,dx&={\frac {d}{dx}}\int f(x)\,dx\cdot {\frac {dx}{dt}}\\&=f(x)g'(t)=f(g(t))g'(t)\\&={\frac {d}{dt}}\int f(g(t))g'(t)\,dt.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1a509895b6b86e51908d36becf2e250af869932b)
この等式から変換公式の両辺の不定積分は t で微分したときに等しいことから、定数項の違いを除いて等しいことが帰結される。
また、変換公式は形式的に f(x) = f(g(t)) と dx = g'(t) dt に分けて考えることができる。後者は厳密には微分形式の理論によって正当化され、後述する多変数の置換積分と併せて積分の変数変換を一般化する。
定積分の置換積分[編集]
定積分で変数変換する際には、以下のように積分区間も変換される。
![{\displaystyle \int _{g(a)}^{g(b)}f(x)\,dx=\int _{a}^{b}f(g(t))g'(t)\,dt.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7551d3b8a370e0b63c1cbee3f87d4468401e43ee)
![{\displaystyle \int _{0}^{2}x\cos(x^{2}+1)\,dx.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/da0845f59a7dfd393758522f593d1c8d31216016)
u = x2 + 1 で x から u に変数変換する。ここで、du = 2x dx なので x dx = (1/2)du である。また、x = 0 に対して u = 02+ 1 = 1 であり、x = 2 に対して u = 22+ 1 = 5 であるので、
![{\displaystyle {\begin{aligned}\int _{x=0}^{x=2}x\cos(x^{2}+1)\,dx&{}={\frac {1}{2}}\int _{u=1}^{u=5}\cos(u)\,du\\&{}={\frac {1}{2}}(\sin(5)-\sin(1))\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bafb3ff29377d38fec71c9c159e49256c9d7ce5c)
と計算できる。
![{\displaystyle \int _{0}^{1}{\sqrt {1-x^{2}}}\,dx.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/20767c13e33d91a66ea28b18fba9d1328b347d6a)
x = sin(u) で x から u に変数変換する。このとき、dx = cos(u) du である。また、0 = sin(0) および 1 = sin(π/2) であることから積分区間を [0, π/2] に変換すると、この区間において |cos(u)| = cos(u) であることに注意して、
![{\displaystyle {\begin{aligned}\int _{0}^{1}{\sqrt {1-x^{2}}}\,dx&=\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}{\sqrt {1-\sin ^{2}(u)}}\cos(u)\,du\\&=\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}|\cos(u)|\cos(u)\,du=\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}\cos ^{2}(u)\,du\\&={\Bigg (}{{\frac {u}{2}}+{\frac {\sin(2u)}{4}}{\Bigg )}{\Bigg \vert }\,}_{0}^{\frac {\pi }{2}}={\frac {\pi }{4}}+0={\frac {\pi }{4}}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9239bac035787847698fb272382fad7cf7139e0e)
と計算できる。
多変数の置換[編集]
x=φ(u,v),y=ψ(u,v)と変数変換すると
ここで、
はヤコビアン(ヤコビ行列の行列式である。)
これは形式的に
と書ける。
関連項目[編集]